抽样：检验之前，先把样本抽对

抽样不是从总体里随便拿一点数据。它要让总体单位以已知或可解释的机会进入样本，统计量的波动才有办法计算。假设检验能处理抽样误差，不能替抽样设计补洞。

从一大堆总体单位里舀出一个样本

先分清五个对象

假设要估计一个产品全部月活用户的平均满意度：

分析表里的 \(n\) 只描述观测样本。抽样框漏人、抽中者不作答，都会让它偏离目标总体。

从同一总体反复抽样，会得到略有不同的样本

样本抽出后，样本均值 \(\bar X\) 是一个数；抽样前，它是随机变量。设总体均值为 \(\mu\)、总体方差为 \(\sigma^2\)。独立同分布抽样时：

\[ E(\bar X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n} \]

标准误是统计量在重复抽样中的标准差，不是原始数据的标准差：

\[ \operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n} \]

样本量扩大四倍，标准误才缩小一半。若从容量为 \(N\) 的有限总体中不放回简单随机抽样，还要乘有限总体修正：

\[ \operatorname{SE}(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \]

这里 \(\sigma^2=N^{-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2\)。当 \(n/N\) 很小时，修正接近 1，可以忽略。

检验统计量、置信区间和 \(p\) 值都建立在这套抽样分布上。抽样设计一变，标准误的算法也要跟着变。

每一层都各自抽取一小部分单位

分层的目标是让每类重要单位都入样。若第 \(h\) 层占总体比例 \(W_h=N_h/N\)，总体均值可估为：

\[ \hat\mu_{\mathrm{st}}=\sum_h W_h\bar X_h \]

层内相似、层间差异大时，分层通常比同样样本量的简单随机抽样更精确。

整群抽样正相反：它用较低的收集成本换来相关性。群大小近似相等时，设计效应可粗略写成：

\[ \operatorname{DEFF}\approx 1+(m-1)\rho \]

\(m\) 是每群平均样本数，\(\rho\) 是群内相关系数。\(\rho\) 很小，乘上较大的 \(m\) 也会明显放大方差；分析时要用能识别群、层和权重的 survey estimator，或至少使用 cluster-robust 标准误。

单位 \(i\) 的入样概率为 \(\pi_i\) 时，基本权重是：

\[ w_i=\frac{1}{\pi_i} \]

常见的加权均值是：

\[ \hat\mu_w=\frac{\sum_{i\in s}w_i x_i}{\sum_{i\in s}w_i} \]

权重把“很难抽中”的单位放大。代价是方差上升。只看权重离散程度时，可用 Kish 有效样本量做一个快检：

\[ n_{\mathrm{eff}}= \frac{(\sum_i w_i)^2}{\sum_i w_i^2} \]

它不包含分层和整群的影响，不能代替完整的设计方差。

抽样框只覆盖了总体的一部分

均方误差把两件事分开：

\[ \operatorname{MSE}(\hat\theta) = \operatorname{Bias}(\hat\theta)^2 + \operatorname{Var}(\hat\theta) \]

增大 \(n\) 主要压低第二项。下面几类误差不会自动随样本变大而消失：

一百万份自愿填写的问卷，可以极精确地描述自愿填写的人。它不一定描述目标总体。\(p\) 值再小，也不能把没机会入样的人补回来。

两种随机化解决不同问题：

随机化发生在哪	主要换来什么
从总体随机抽样	样本对总体的可推广性
把样本随机分到处理组	处理效应的因果识别

随机分组的实验仍可能只代表一小类志愿者；代表性好的观察样本也不会自动消除混杂。

检验回答“若抽样机制和模型成立，这个结果有多反常”；抽样先决定这句话能对谁说。