3 根绳子烧出 7 分钟

题

3 根不均匀的绳子，每根完整烧完恰好 8 分钟——但因为粗细不均，烧一半长度不等于烧 4 分钟。只有火柴，没有表。如何精确计时 7 分钟？

一句话

两端同时点燃能把一根绳的剩余燃烧时间精确减半；三根绳级联三次减半，\(4 + 2 + 1 = 7\)，恰好是 \(8 \times \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\right)\)。

关键技巧

绳子不均匀意味着长度信息全部作废：不能对折找中点，不能按刻度剪。可靠的只剩两样——"某根绳烧完"这个事件，和"在事件发生的瞬间点火"这个操作。整道题就是用这两样原料搭一条事件链。

核心引理：无论多不均匀，两端同时点燃的绳，烧完耗时 = 剩余燃烧时长的一半。 证明只需换一个坐标系：不按长度、按"燃烧时间"给绳子标刻度（第 \(s\) 分钟烧到哪就标 \(s\)）。每个火头每分钟恰好消耗 1 分钟的刻度，两个火头合计每分钟消耗 2 分钟，剩余量 \(R\) 自然在 \(R/2\) 后烧尽——两火头相遇的位置不确定，相遇的时刻却分毫不差。

于是"在另一端补一把火"就是一个精确操作：把这根绳当前的剩余时间除以 2。想测 \(7 = 8 - 1\)，就要让最后一根绳恰好剩 1 分钟再补火，倒推出二进制展开 \(\frac{7}{8} = 0.111_2\)——每一位 1 对应一次减半。

解

\(t=0\) 时三根绳一起点，但点法不同：

1. \(t=0\)：绳 A 点两端，绳 B、绳 C 各点一端。
2. \(t=4\)：绳 A 烧完（\(8/2 = 4\)）。此刻点燃绳 B 的另一端——B 已单端烧了 4 分钟，剩 4 分钟量，减半后还需 2 分钟。
3. \(t=6\)：绳 B 烧完。此刻点燃绳 C 的另一端——C 已单端烧了 6 分钟，剩 2 分钟量，减半后还需 1 分钟。
4. \(t=7\)：绳 C 烧完，计时结束。

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每根绳烧完的瞬间就是给下一根补火的信号，误差不会累积——每一步都由"烧完"这个物理事件对齐，而不是靠人估时间。

延伸：除了 7，还能计哪些时间

从最简单的往上爬：

• 一根绳：单端点燃得 8，双端点燃得 4。就这两个。
• 两根绳：级联一次得 6 \(= 4 + 2\)；也可以往上接力——A 双端烧完再单端点 B 得 12 \(= 4 + 8\)，纯接力得 16 \(= 8 + 8\)。面试经典原版"两根 60 分钟绳测 45 分钟"就是级联的 \(60 \times \frac{3}{4}\)。级联通式：\(n\) 根 \(T\) 分钟的绳可测 \(T\left(1 - 2^{-n}\right)\)，本题的 7 就是 \(8 \times \frac{7}{8}\)。
• 三根绳：除了 7，还有两个不那么显然的——
  • 9 分钟 \(= 4 + 2 + 3\)：A、B 照原方案烧出事件 4 和 6，但 C 的单端改在 \(t=4\) 才点、\(t=6\) 补火。补火时 C 只烧了 2 分钟，剩 6 减半得 3，\(t=9\) 烧完。
  • 10 分钟 \(= 4 + 4 + 2\)：A 双端给出事件 4，B 纯单端给出事件 8；C 在 \(t=4\) 点单端、\(t=8\) 补火，剩 4 减半得 2，\(t=10\) 烧完。
• 完整清单：只允许在事件时刻点绳头的话，三根绳从点火起能测的恰好是 4、6、7、8、9、10、12、14、16、20、24 分钟（穷举见下方折叠块）。注意 8 分钟以内只有 4、6、7、8——想要 5 分钟，从划火柴那刻起是测不出来的。
• 允许计时起点延迟呢：如果只要求"从事件 X 到事件 Y 恰好 \(k\) 分钟"，1 到 8 的每个整数都能测。比如 5 分钟就藏在 9 分钟方案里：从 \(t=4\)（A 烧完）到 \(t=9\)（C 烧完）。1 分钟则是原方案里 \(t=6\) 到 \(t=7\) 的那一段。
• 一般化到 \(n\) 根 \(T\) 时间的绳：可测时刻数 \(f(n) = 2, 5, 11, 23, 48, 101, 218, 473, \ldots\)，即 OEIS A283075（出自 FiveThirtyEight 的 Riddler 栏目），没有已知闭式，只能穷举，经验增长率约 \(2.19^n\)。前 4 项恰好等于 \(3 \cdot 2^{n-1} - 1\)，很容易让人以为找到了规律——但 \(n=5\) 时公式给 47，实际是 48，简单倍增的直觉在这里破裂。不过两条结构性规律不随 \(n\) 变复杂：\([0, T]\) 内可测的恰好只有级联家族 \(T\left(1-2^{-k}\right)\)（\(k = 0, \ldots, n\)，共 \(n+1\) 个）；最大可测 \(nT\)（纯接力），且一切可测值都是 \(T\) 的二进分数、分母至多 \(2^n\)。
• 为什么不能对折：对折找的是长度中点，不均匀时长度中点 \(\ne\) 时间中点。两端点燃有效，靠的是燃烧时间的守恒（两火头合计消耗速率恒定），与几何位置无关。
• 理论上限：每个新事件时刻都由"减半"和"相加"生成，所以一切可测时长都是 \(T\) 的二进分数（\(k/2^m\) 倍）——\(8/3\) 分钟这样的目标加多少根绳都测不出来。
• 允许点绳子中间呢：在任意内点点火会产生两个新火头，相当于把绳拆成两段"双端燃烧"。若某段烧完就立刻在剩余部分再点一个内点，始终维持 4 个火头，一根绳就能烧出 \(8/4 = 2\) 分钟——代价是要求"瞬间补火"这种理想化操作，通常只当趣味延伸。

from fractions import Fraction as F

T, N = F(8), 3
from_zero, intervals, seen = set(), set(), set()

def rec(events, ropes_left):
    if (events, ropes_left) in seen:                     # 记忆化，N>=5 时必需
        return
    seen.add((events, ropes_left))
    from_zero.update(events)
    intervals.update(b - a for a in events for b in events if b > a)
    if ropes_left == 0:
        return
    for t1 in sorted(events):
        rec(events | {t1 + T}, ropes_left - 1)          # 只点一端
        for t2 in sorted(events):
            if t1 <= t2 < t1 + T:                        # 在事件 t2 补火
                rec(events | {(t1 + t2 + T) / 2}, ropes_left - 1)

rec(frozenset({F(0)}), N)
print(sorted(x for x in from_zero if x > 0))
# [4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 20, 24]
print(sorted(x for x in intervals if x <= 8))
# [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

import random

def both_ends_time(segs):
    """两端同时点燃，返回烧完耗时。segs 是每小段的燃烧时长。"""
    segs, i, j, t = segs[:], 0, len(segs) - 1, 0.0
    while i < j:
        d = min(segs[i], segs[j])
        t += d
        segs[i] -= d; segs[j] -= d
        if segs[i] == 0: i += 1
        if segs[j] == 0: j -= 1
    return t + segs[i] / 2 if i == j else t

def after_one_end(segs, t):
    """单端烧 t 分钟后剩下的段。"""
    out = segs[:]
    while t > 0 and out:
        d = min(out[0], t)
        out[0] -= d; t -= d
        if out[0] == 0: out.pop(0)
    return out

def rand_rope(n=12, total=8):
    w = [random.random() for _ in range(n)]
    return [x / sum(w) * total for x in w]

for _ in range(5):
    A, B, C = rand_rope(), rand_rope(), rand_rope()
    tA = both_ends_time(A)
    tB = tA + both_ends_time(after_one_end(B, tA))
    tC = tB + both_ends_time(after_one_end(C, tB))
    print(round(tA, 9), round(tB, 9), round(tC, 9))  # 恒为 4.0 6.0 7.0