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非参数方法：少依赖分布，不等于没有假设

非参数方法常把原始数值换成符号或秩，再比较位置或分布。它适合等级数据、明显偏态、离群值难以合理建模或样本很小时的稳健分析。它少依赖正态分布，但仍依赖抽样、独立性、可交换性和研究设计。

先问 estimand，再决定要不要排秩

flowchart TD
    A["连续或有序结局"] --> B{"数据结构"}
    B -->|两组独立| C["Mann–Whitney U"]
    B -->|配对或前后| D{"差值只看方向？"}
    D -->|是| E[符号检验]
    D -->|还利用大小次序| F[Wilcoxon 符号秩]
    B -->|三组以上独立| G["Kruskal–Wallis"]
    B -->|三次以上配对| H["Friedman"]
    A --> I{"只想看单调关联？"}
    I -->|是| J["Spearman / Kendall"]

非参数方法不是“正态性检验不显著时自动切换”的备用按钮。先写清目标：

  • 比较均值——Welch t 或合适的回归仍可能直接回答问题
  • 比较中位数——需要能识别中位数差的设计与方法
  • 比较整个分布——秩检验可能更贴近问题
  • 比较随机抽一人的相对大小——Mann–Whitney 的概率解释最直接

Mann–Whitney U 比较两组观测的相对次序

合并两组数据并排序，给每个观测秩。若有并列值，使用平均秩。对第 1 组秩和 \(R_1\)：

\[ U_1=R_1-\frac{n_1(n_1+1)}2 \]

它可解释为跨组配对中，第 1 组观测大于第 2 组观测的次数，加上一半平局次数。概率效应量为：

\[ \hat A=P(X_1>X_2)+\frac12P(X_1=X_2) =\frac{U_1}{n_1n_2} \]

\(\hat A=0.5\) 表示随机各抽一个时两者胜出的机会相同。它比只给 \(p\) 值更容易解释。

Mann–Whitney 不总是中位数检验

它的零假设通常是两组分布相同。只有两组分布形状、离散程度相近，差异主要表现为平移时，才可把结果近似解释为位置或中位数差。

若一组更分散但中位数相同，Mann–Whitney 也可能检出差异。此时说“中位数显著不同”就是答非所问。

配对数据要在差值上工作

配对观测先计算：

\[ d_i=x_{i,\text{后}}-x_{i,\text{前}} \]

符号检验只统计正差和负差。在连续且差值中位数为 0 的零假设下，正号个数服从二项分布：

\[ S_+\sim\operatorname{Binomial}(n,0.5) \]

它几乎不使用差值大小，稳健但功效较低。大量零差值时，应预先说明如何处理平局。

Wilcoxon 符号秩检验给 \(|d_i|\) 排秩，再按差值正负求秩和。它利用了大小次序，通常更有功效，但要求差值分布近似对称，且各对独立。

配对数据不能用 Mann–Whitney 代替符号秩检验——前者把两列当成独立样本，会丢掉对象内配对信息。

三组以上是同一逻辑的扩展

Kruskal–Wallis 检验把全部独立组的观测合并排秩，比较各组平均秩：

\[ H=\frac{12}{N(N+1)} \sum_{j=1}^k\frac{R_j^2}{n_j} -3(N+1) \]

有并列秩时要做修正。拒绝零假设只说明至少一组分布不同，不指出哪两组不同。

事后比较要用 Dunn 等基于秩的方法，并调整多重比较。不要在总体检验显著后做一串未经调整的 Mann–Whitney 检验。

Friedman 检验用于同一对象在三个以上条件下的测量。它在每个对象内部排秩，保留了区组或重复测量结构。

Spearman 和 Kendall 只抓单调关系

Spearman 相关是秩之间的 Pearson 相关：

\[ \rho_s=\operatorname{Corr}(\operatorname{rank}(X),\operatorname{rank}(Y)) \]

无并列秩时也可写成：

\[ \rho_s=1-\frac{6\sum_i d_i^2}{n(n^2-1)} \]

Kendall \(\tau\) 比较一致对与不一致对：

\[ \tau=\frac{C-D}{\binom n2} \]

两者描述单调关联，不要求直线关系。U 形关系可能非常强，却得到接近 0 的秩相关；散点图仍然不能省。

小例子：中位数一样，结论却可能不同

两组评分：

\[ A=(1,5,5,5,9),\qquad B=(4,4,5,6,6) \]

两组中位数都是 5，但 A 更分散。一个检验若识别到分布形状差异，不能被翻译成“中位数不同”。报告时应同时给：

  • 每组样本量、中位数与四分位距
  • 抖动散点、箱线图或经验分布
  • 检验针对的零假设
  • 概率效应量、Hodges–Lehmann 位置差或其他区间

“非参数”不能回答的事

秩方法主动丢掉了原始单位和部分距离信息。它不能自动回答：

  • 平均收入究竟相差多少元
  • 药物让血压平均下降多少 mmHg
  • 一个协变量如何改变原单位上的效应
  • 复杂聚类、删失或缺失机制该如何处理
  • 观察到的关联是否具有因果意义

若原单位上的效应是决策目标，可考虑稳健标准误、变换后的模型、分位数回归、广义线性模型或 bootstrap 区间。不要仅因有离群值就把科学问题换掉。

检验前检查假设

所有常见秩检验都要求抽样与测量过程可信。具体还要检查：

  • 独立组内及组间观测是否独立
  • 配对检验是否真的按同一对象或合理匹配形成对
  • 等级尺度是否至少保留了有意义的顺序
  • Mann–Whitney 是否被错误解释成中位数检验
  • 符号秩检验的差值分布是否近似对称
  • 并列值和零差值是否很多，软件使用了什么修正
  • 多组事后比较是否控制了多重性

图先于检验

原始点、箱线图和经验分布能直接暴露偏态、离群值、平局和分布交叉。只看一个秩检验的 \(p\) 值，会把这些差异压成同一个数字。

交付前检查清单

  • [ ] 已写明比较均值、中位数、位置、分布还是随机胜出概率
  • [ ] 独立样本、配对样本和重复测量没有混用
  • [ ] 描述统计与图形保留了样本量和分布形状
  • [ ] 报告了效应量与区间，不只报告 \(p\) 值
  • [ ] 并列、零差值和小样本采用了适当的精确或修正算法
  • [ ] 多重比较已调整，事后分析与预设分析已区分
  • [ ] 没把“少分布假设”写成“没有假设”

非参数方法的价值是用较少的尺度和分布承诺回答一个更窄的问题；窄在哪里，必须在结果里说清。