概率模型：把不确定性写成可计算的规则

概率模型不声称现实由公式生成。它用一组明确假设描述哪些结果可能出现、各有多大机会，再让统计推断可以检查。

样本空间、事件与概率

样本空间 \(\Omega\) 包含一次随机过程的全部可能结果；事件 \(A\) 是其中一个集合。概率满足：

\[ 0\le P(A)\le1,\qquad P(\Omega)=1 \]

互斥事件 \(A\cap B=\varnothing\) 时：

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]

一般情况下要减掉重复部分：

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

补事件给出 \(P(A^c)=1-P(A)\)。遇到“至少一次”，先算“一次也没有”通常更省力。

已知 \(B\) 发生后，\(A\) 的条件概率为：

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

独立要求 \(P(A\mid B)=P(A)\)，等价于：

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

互斥和独立不是一回事。两个非零概率事件若互斥，一个发生就排除了另一个，反而不独立。

\[ P(A\mid B)= \frac{P(B\mid A)P(A)} {P(B)} \]

若 \(A_1,\ldots,A_k\) 构成互斥且完备的划分：

\[ P(B)=\sum_jP(B\mid A_j)P(A_j) \]

假设疾病患病率 1%，检测灵敏度 90%，假阳性率 5%。阳性后的患病概率不是 90%：

\[ P(D\mid +)= \frac{0.90\times0.01} {0.90\times0.01+0.05\times0.99} \approx15.4\% \]

flowchart LR
    A[10000 人] --> B[患病 100]
    A --> C[未患病 9900]
    B --> D[阳性 90]
    C --> E[阳性 495]
    D --> F[全部阳性 585]
    E --> F

基准率低时，少量假阳性也会淹没真阳性。

离散随机变量用概率质量函数 \(p(x)=P(X=x)\)；连续随机变量用密度 \(f(x)\)，区间概率是面积：

\[ P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx \]

连续变量在单点的概率为 0；密度值可以大于 1，只要总面积为 1。

期望和方差为：

\[ E(X)=\sum_xxp(x) \]

\[ \operatorname{Var}(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-E(X)^2 \]

线性变换满足：

\[ E(aX+b)=aE(X)+b,\qquad \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X) \]

无论是否独立，期望都可相加。方差相加还要处理协方差：

\[ \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) \]

大数定律说样本均值随 \(n\) 增大趋近总体均值；中心极限定理说在适当条件下，标准化后的样本均值分布趋近正态：

\[ \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1) \]

前者解释“为什么平均会稳定”，后者解释“稳定过程中的波动长什么样”。中心极限定理不保证原始数据近似正态；重尾、强依赖或方差不存在时也不能机械套用。

模型不是现实的复印件；它是把假设暴露出来、允许计算也允许被数据推翻的工具。