置信区间：给估计值配一把误差尺

置信区间不是“参数有 95% 概率在里面”。频率学派的参数固定，随机的是造区间的程序：若重复抽样并重复造区间，约 95% 的区间会覆盖真值。

重复构造的置信区间大多覆盖固定参数，也会偶尔漏掉

通用骨架

许多区间都可以写成：

\[ \text{估计值}\pm \text{临界值}\times\text{标准误} \]

中间是位置，标准误是数据带来的波动，临界值决定覆盖率。

flowchart LR
    A[估计值] --> D[置信区间]
    B[标准误] --> D
    C[置信水平] --> D
    E[抽样与模型假设] --> D

已知和未知总体方差

正态总体且 \(\sigma\) 已知：

\[ \bar x\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \]

\(\sigma\) 未知时使用 t 区间：

\[ \bar x\pm t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n} \]

95% 只是惯例。区间越高置信越宽；样本量越大区间越窄。

一次区间该怎样说

观察数据后，区间端点已固定。合适表述是：

使用该抽样与构造程序得到的 95% 置信区间为 \([a,b]\)。

不合适表述是：

真值有 95% 概率落在 \([a,b]\)。

若要直接给参数分配概率，需要贝叶斯后验与可信区间。

比例的 Wald 区间经常太草率

最熟悉的比例区间是：

\[ \hat p\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \]

它在样本小或 \(\hat p\) 靠近 0、1 时覆盖率差，甚至给出小于 0 或大于 1 的端点。Wilson 区间通常更可靠：

\[ \frac{ \hat p+\frac{z^2}{2n} \pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n+\frac{z^2}{4n^2}} }{ 1+\frac{z^2}{n} } \]

零成功不代表真实概率为零。此时精确二项区间或 Wilson 区间仍会给出正的上界。

两组均值差优先用 Welch 区间

独立两组不强求方差相等：

\[ (\bar x_1-\bar x_2) \pm t_{\nu,1-\alpha/2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} \]

自由度 \(\nu\) 用 Welch–Satterthwaite 近似。默认用 Welch 通常比先做方差齐性检验再选方法更稳妥。

配对数据则对差值 \(d_i=x_{i,\text{after}}-x_{i,\text{before}}\) 构造单样本区间：

\[ \bar d\pm t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt n} \]

区间宽度由四件事决定

置信水平：越高越宽
样本量：通常按 \(1/\sqrt n\) 缩窄
数据变异：越大越宽
设计与模型：聚类、权重、重尾会改变标准误

若希望均值区间的半宽不超过 \(E\)，粗略样本量为：

\[ n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2 \]

比例在未知 \(p\) 时，用 \(p=0.5\) 给最保守样本量：

\[ n\approx\frac{z_{1-\alpha/2}^2}{4E^2} \]

这些公式只控制抽样误差，不覆盖无回答、测量误差和设计偏差。

置信区间和显著性检验是一对

对双侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0\)，若 \(\theta_0\) 不在 \(100(1-\alpha)\%\) 置信区间内，则同层级检验拒绝 \(H_0\)。

但区间比二元结论多给两样东西：

效应大小可能落在哪些范围
数据是否也兼容“实际无关紧要”的小效应

转换参数时先在自然尺度上构造

比值、odds ratio 等参数分布偏斜，常在 log 尺度上造区间，再指数变换回来。例如：

\[ \log(\widehat{RR})\pm z\,\operatorname{SE}(\log\widehat{RR}) \]

回到原尺度后的区间通常不对称，这正符合比值不能小于 0 的约束。

区间没有包含哪些不确定性

常规置信区间只在指定抽样机制和模型下覆盖参数。它通常不自动包括：

抽样框遗漏和自选择
数据清洗规则的选择
多次尝试模型后的选择不确定性
测量误差与未观测混杂
错误的相关结构

区间很窄只说明模型内的随机误差小，不保证问题问对、样本抽对、模型写对。