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description: "标准误来自抽样设计；样本再大，也修不好覆盖偏差和自选择"
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# 抽样：检验之前，先把样本抽对

抽样不是从总体里随便拿一点数据。它要让总体单位以已知或可解释的机会进入样本，统计量的波动才有办法计算。**假设检验能处理抽样误差，不能替抽样设计补洞。**

![从一大堆总体单位里舀出一个样本](assets/random-sample-marker-doodle.webp)

## 先分清五个对象

假设要估计一个产品全部月活用户的平均满意度：

| 对象 | 在这个例子里是什么 |
|---|---|
| 目标总体 | 全部月活用户 |
| 抽样框 | 能被系统列出并联系到的月活用户 |
| 入样单位 | 从抽样框中抽中的用户 |
| 观测样本 | 最终作答且数据可用的用户 |
| 估计目标（estimand） | 目标总体的平均满意度 |

分析表里的 $n$ 只描述观测样本。抽样框漏人、抽中者不作答，都会让它偏离目标总体。

## 标准误是重复抽样造成的波动

![从同一总体反复抽样，会得到略有不同的样本](assets/repeated-samples-marker-doodle.webp)

样本抽出后，样本均值 $\bar X$ 是一个数；抽样前，它是随机变量。设总体均值为 $\mu$、总体方差为 $\sigma^2$。独立同分布抽样时：

$$
E(\bar X)=\mu,\qquad
\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}
$$

标准误是统计量在重复抽样中的标准差，不是原始数据的标准差：

$$
\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}
$$

样本量扩大四倍，标准误才缩小一半。若从容量为 $N$ 的有限总体中不放回简单随机抽样，还要乘有限总体修正：

$$
\operatorname{SE}(\bar X)
=
\frac{\sigma}{\sqrt n}
\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}
$$

这里 $\sigma^2=N^{-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$。当 $n/N$ 很小时，修正接近 1，可以忽略。

检验统计量、置信区间和 $p$ 值都建立在这套抽样分布上。抽样设计一变，标准误的算法也要跟着变。

## 四种常见设计

| 设计 | 怎么抽 | 分析时最容易漏掉什么 |
|---|---|---|
| 简单随机抽样 | 每个单位等概率入样 | 不放回且抽样比例高时要做有限总体修正 |
| 分层抽样 | 先分层，再在每层内随机抽 | 各层抽样率不同时要加权 |
| 整群抽样 | 先抽学校、门店等群，再调查群内单位 | 同群单位相似，普通独立样本标准误会偏小 |
| 系统抽样 | 随机起点后每隔 $k$ 个抽一个 | 名单若有周期，样本会撞上周期 |

![每一层都各自抽取一小部分单位](assets/stratified-sample-marker-doodle.webp)

分层的目标是让每类重要单位都入样。若第 $h$ 层占总体比例 $W_h=N_h/N$，总体均值可估为：

$$
\hat\mu_{\mathrm{st}}=\sum_h W_h\bar X_h
$$

层内相似、层间差异大时，分层通常比同样样本量的简单随机抽样更精确。

整群抽样正相反：它用较低的收集成本换来相关性。群大小近似相等时，设计效应可粗略写成：

$$
\operatorname{DEFF}\approx 1+(m-1)\rho
$$

$m$ 是每群平均样本数，$\rho$ 是群内相关系数。$\rho$ 很小，乘上较大的 $m$ 也会明显放大方差；分析时要用能识别群、层和权重的 survey estimator，或至少使用 cluster-robust 标准误。

## 入样概率不等，就要加权

单位 $i$ 的入样概率为 $\pi_i$ 时，基本权重是：

$$
w_i=\frac{1}{\pi_i}
$$

常见的加权均值是：

$$
\hat\mu_w=\frac{\sum_{i\in s}w_i x_i}{\sum_{i\in s}w_i}
$$

权重把“很难抽中”的单位放大。代价是方差上升。只看权重离散程度时，可用 Kish 有效样本量做一个快检：

$$
n_{\mathrm{eff}}=
\frac{(\sum_i w_i)^2}{\sum_i w_i^2}
$$

它不包含分层和整群的影响，不能代替完整的设计方差。

## 大样本只压方差，不消除偏差

![抽样框只覆盖了总体的一部分](assets/coverage-bias-marker-doodle.webp)

均方误差把两件事分开：

$$
\operatorname{MSE}(\hat\theta)
=
\operatorname{Bias}(\hat\theta)^2
+
\operatorname{Var}(\hat\theta)
$$

增大 $n$ 主要压低第二项。下面几类误差不会自动随样本变大而消失：

- 覆盖偏差：抽样框漏掉一类总体单位
- 无回答偏差：是否作答与研究变量有关
- 自选择：单位自己决定是否进入样本
- 测量偏差：问题、仪器或记录方式把值系统性推偏

一百万份自愿填写的问卷，可以极精确地描述自愿填写的人。它不一定描述目标总体。$p$ 值再小，也不能把没机会入样的人补回来。

## 随机抽样不等于随机分组

两种随机化解决不同问题：

| 随机化发生在哪 | 主要换来什么 |
|---|---|
| 从总体随机抽样 | 样本对总体的可推广性 |
| 把样本随机分到处理组 | 处理效应的因果识别 |

随机分组的实验仍可能只代表一小类志愿者；代表性好的观察样本也不会自动消除混杂。

## 做检验前先查六件事

1. 目标总体和 estimand 是否写成了一句话？
2. 抽样框漏掉了谁？
3. 每个单位的入样概率是否已知？是否需要权重？
4. 数据里有没有层、群、重复测量或其他相关结构？
5. 无回答、退出和缺失是否与研究变量有关？
6. 标准误是否真的按这套设计计算？

**检验回答“若抽样机制和模型成立，这个结果有多反常”；抽样先决定这句话能对谁说。**