约会问题：等 15 分钟
题
甲乙约好 12 点到 1 点之间见面，各自到达时刻在这一小时内均匀随机、相互独立。先到的人等 15 分钟，等不到就走（1 点前必须离开也不影响结论）。两人见到面的概率是多少？
一句话
\(7/16 \approx 0.44\)——单位正方形里 \(|x - y| \le \frac14\) 的那条斜带，面积 \(1 - \left(\frac34\right)^2\)。
关键技巧
两个独立均匀变量 = 单位正方形上的均匀点，概率 = 面积。 把甲的到达时刻记 \(x\)、乙记 \(y\)（单位：小时），样本空间就是 \([0,1]^2\)，均匀分布下任何事件的概率就是它的面积。
"见到面"翻译成不等式：\(|x - y| \le \frac14\)。这是对角线两侧宽度为 \(\frac14\) 的斜带。与其算斜带，不如算补集——斜带外是两个直角边为 \(\frac34\) 的等腰直角三角形，拼起来正好是一个边长 \(\frac34\) 的正方形。
几何概率的通用手续：写出不等式 → 画区域 → 优先算补集或对称块。
解
一般地，每人等待时长占总时长的比例为 \(t\)，相遇概率 \(1 - (1 - t)^2\)。反解：想把相遇概率做到一半，\((1 - t)^2 = \frac12\)，每人要等 \(60\left(1 - \frac{1}{\sqrt2}\right) \approx 17.6\) 分钟——比 15 分钟只多 2.6 分钟，概率就从 44% 跳到 50%。
延伸
-
各自等待时间不同：甲先到最多等 \(a\)，乙先到最多等 \(b\)。条件变成 \(-b \le y - x \le a\) 的非对称斜带，两个角三角形直角边分别是 \(1 - a\)、\(1 - b\)：
\[ P = 1 - \frac{(1-a)^2}{2} - \frac{(1-b)^2}{2} \]甲等 15 分钟、乙只等 10 分钟：\(1 - \frac{9}{32} - \frac{25}{72} = \frac{107}{288} \approx 0.372\)。等得少的一方拖低的只是自己先到的那一半情形。 - 三人都相遇：三人都等 15 分钟，全员同时在场当且仅当"最晚到的 − 最早到的 \(\le \frac14\)"——这等价于任意两人都见过面。\(n\) 个均匀变量的极差 \(R\) 满足 \(P(R \le a) = n a^{n-1} - (n-1) a^n\)，\(n = 3\) 时
\[ P = 3 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{64} = \frac{5}{32} \approx 0.156 \]四人则跌到 \(\frac{13}{256} \approx 0.051\)。极差公式的来路：固定最早到的人和他的时刻，其余 \(n-1\) 人都落在其后 \(a\) 之内。 - 常见错误：把等待占比直接当概率。\(\frac14\) 是把"等 15 分钟"当成事件本身；\(\frac12\) 是把斜带当成宽 \(2 \times \frac14\) 的整条带子——忘了靠近 12 点和 1 点的两端被正方形截掉，截掉的两个小三角合计正好 \(\frac{1}{16}\)。画图就不会错。 - 同一招：折棍子成三角形和 Buffon 投针都是"把随机变量摆成坐标、概率化面积"。
数值验证
from fractions import Fraction as F
import math, random
def meet(a, b=None):
"""先到的等对方：A 先到最多等 a，B 先到最多等 b（单位：小时）。"""
b = a if b is None else b
return 1 - (1 - a) ** 2 / 2 - (1 - b) ** 2 / 2
def all_meet(n, a):
"""n 人都等 a：全员同时在场 <=> 最晚到的 - 最早到的 <= a。"""
return n * a ** (n - 1) - (n - 1) * a ** n
q = F(1, 4)
print(meet(q), 1 - (1 - q) ** 2) # 7/16 7/16
print(all_meet(3, q), all_meet(4, q)) # 5/32 13/256
print(meet(F(1, 4), F(1, 6))) # 107/288
print(round(60 * (1 - 1 / math.sqrt(2)), 2)) # 17.57 要相遇概率 1/2 每人需等的分钟数
random.seed(42)
T, m2, m3, m4 = 10**6, 0, 0, 0
for _ in range(T):
x, y, z = random.random(), random.random(), random.random()
m2 += abs(x - y) <= 0.25
m3 += max(x, y, z) - min(x, y, z) <= 0.25
m4 += (y - x <= 0.25) if x < y else (x - y <= 1 / 6)
print(m2 / T, m3 / T, m4 / T) # 0.437529 0.156653 0.371506