---
description: "Kelly 公式 $f^* = p - q/b$ 最大化 $E[\\log W]$：60% 胜率 1:1 押 20%；半 Kelly 保住 75% 增长、腰斩概率从 1/2 降到 1/8"
---

# Kelly 公式：每次押多少

## 题

一个可以无限重复的赌局：每注胜率 $p = 0.6$，赢了拿回本金外加同等金额（赔率 $b = 1$），输了赔掉本金。你每次押当前财富的固定比例 $f$。$f$ 取多少，长期财富增长最快？押多了会怎样？

## 一句话

**押 20%**。Kelly 公式 $f^* = p - \dfrac{q}{b}$ 最大化每注的期望对数增长 $E[\log W]$，本例每注增长 $0.0201$（约 2%）。**押到 39% 以上，长期增长率变负**——胜率再高也会被磨光。

## 关键技巧

**一、重复下注时，该最大化的是对数财富。** 押 $n$ 次后财富 $W_n = W_0 \prod_i (1 + f X_i)$，其中 $X_i = b$ 或 $-1$。取对数变成和：

$$
\frac{1}{n}\log \frac{W_n}{W_0} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \log(1 + f X_i) \xrightarrow{\text{a.s.}} g(f) = p \log(1 + bf) + q \log(1 - f)
$$

由大数定律，几乎每条路径的长期增长率都收敛到 $g(f)$。最大化 $g$ 就是最大化"典型路径"的财富。

**二、对 $g$ 求导。**

$$
g'(f) = \frac{pb}{1 + bf} - \frac{q}{1 - f} = 0 \quad\Longrightarrow\quad f^* = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}
$$

分子 $pb - q$ 是每押 1 块的期望收益（edge），分母 $b$ 是赔率（odds）——**Kelly = edge / odds**。edge $\le 0$ 时 $f^* \le 0$：不押。

**三、别最大化期望财富。** $E[W_n] = W_0 (1 + f(pb - q))^n$ 对 $f$ 单调增，指向"每次全押"。但全押连赢 10 次的概率只有 $0.6^{10} \approx 0.6\%$，其余路径全部归零——期望被极少数天文数字路径撑起来，中位数是 0。

## 解

$p = 0.6$，$q = 0.4$，$b = 1$：

$$
f^* = 0.6 - \frac{0.4}{1} = 0.2, \qquad g(0.2) = 0.6 \ln 1.2 + 0.4 \ln 0.8 \approx 0.02014
$$

每注对数增长 0.0201，1000 注后财富的典型值约 $e^{20.1} \approx 5.6 \times 10^8$ 倍。

| $f$ | 0.1（半 Kelly） | **0.2（Kelly）** | 0.3（1.5 倍） | 0.4（2 倍） |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $g(f)$ | 0.01504 | **0.02014** | 0.01475 | $-0.00245$ |
| 占 Kelly 增长率 | 75% | 100% | 73% | $-12\%$ |
| 曾跌到一半的概率（1000 注模拟） | 11.4% | 45.2% | 77.1% | 95.5% |

$g(f)$ 在 $f^*$ 附近近似抛物线，左右对称：半 Kelly 和 1.5 倍 Kelly 的增长率几乎一样，**风险却天差地别**。$g$ 在 $f \approx 0.389$（约 $2f^*$）处过零——押到两倍 Kelly，赢面再大也只是原地踏步，再多就是稳定地亏。

```echarts
{
  "height": 300,
  "grid": {"left": 65, "right": 30, "top": 30, "bottom": 45},
  "xAxis": {"type": "value", "name": "下注比例 f", "nameLocation": "middle", "nameGap": 28, "min": 0, "max": 0.44},
  "yAxis": {"type": "value", "name": "g(f)"},
  "series": [{
    "type": "line", "smooth": true, "showSymbol": false,
    "lineStyle": {"color": "#4e79a7", "width": 2},
    "data": [[0.0,0.0],[0.02,0.0038],[0.04,0.0072],[0.06,0.01021],[0.08,0.01282],[0.1,0.01504],[0.12,0.01686],[0.14,0.01829],[0.16,0.01931],[0.18,0.01993],[0.2,0.02014],[0.22,0.01993],[0.24,0.01929],[0.26,0.01822],[0.28,0.01671],[0.3,0.01475],[0.32,0.01231],[0.34,0.0094],[0.36,0.00598],[0.38,0.00204],[0.4,-0.00245],[0.42,-0.0075],[0.44,-0.01314]],
    "markLine": {
      "symbol": "none",
      "lineStyle": {"color": "#e15759", "type": "dashed"},
      "data": [{"xAxis": 0.2, "label": {"formatter": "f* = 0.2"}}, {"xAxis": 0.1, "label": {"formatter": "半 Kelly"}}, {"yAxis": 0, "label": {"show": false}}]
    }
  }]
}
```

## 延伸

- **半 Kelly 是实战默认**：押 $c \cdot f^*$ 时增长率约为 Kelly 的 $c(2 - c)$ 倍（$c = 0.5$ 给 75%）；连续时间近似下财富**曾经跌到初始 $x$ 倍**的概率是 $x^{2/c - 1}$——全 Kelly 腰斩概率 $1/2$，半 Kelly 只有 $1/8$，1.5 倍 Kelly 是 $0.79$。模拟与之吻合（见折叠块）。
- **胜率估不准时偏小押**：$p$ 高估 5 个点，按公式押的 $f$ 就可能落到真实 $f^*$ 的 1.5 倍；而 $g$ 在右侧掉得比左侧快（对数的凹性），押少的代价远小于押多——这是半 Kelly 的第二个理由。
- **与赌徒破产的呼应**：对数财富是一个步长 $\ln(1 + bf)$ / $\ln(1 - f)$ 的随机游走，"跌到一半"就是[赌徒破产](gamblers-ruin.md)里的吸收壁。比例下注永远押不光，真正的归零不会发生；但 Kelly 下漂移为正，只保证碰到任意下限的概率小于 1——全 Kelly 跌到初始 $x$ 倍的概率约等于 $x$ 本身。
- **推广**：一般结果分布下 $f^* = \arg\max_f E[\log(1 + fX)]$；股票这类连续收益的近似是 $f^* \approx \mu / \sigma^2$（超额收益 ÷ 方差）。多个同时下注的机会，要对联合分布最大化 $E[\log W]$，不能各押各的 Kelly。
- **常见错误一**：把 $f^* = p - q/b$ 里的 $b$ 当成总回报。$b$ 是**净**赔率——押 1 赢了净得 $b$。1:1 时 $b = 1$，不是 2。
- **常见错误二**：以为"期望为正就该多押"。期望线性、增长率不是——波动会从增长率里扣掉一个约 $\frac{1}{2}f^2\sigma^2$ 的"方差税"，押得越多税越重。

??? note "数值验证"

    计算 $g(f)$、过零点，再模拟 2000 条 1000 注的路径，统计中位增长率与"曾跌到一半"的频率，并和 $x^{2/c-1}$ 对比：

    ```python
    import math, random

    p, q, b = 0.6, 0.4, 1
    g = lambda f: p * math.log(1 + b * f) + q * math.log(1 - f)
    fs = p - q / b
    print(round(fs, 4), round(g(fs), 5))              # 0.2 0.02014
    for f in (0.1, 0.3, 0.4):
        print(f, round(g(f), 5), round(g(f) / g(fs), 3))
    # 0.1 0.01504 0.747
    # 0.3 0.01475 0.732
    # 0.4 -0.00245 -0.122

    lo, hi = fs, 0.99                                  # g 的零点
    for _ in range(60):
        m = (lo + hi) / 2
        lo, hi = (m, hi) if g(m) > 0 else (lo, m)
    print(round(lo, 4))                                # 0.3894
    print(0.6 ** 10)                                   # 0.006046617599999997  全押连赢 10 次

    random.seed(42)
    N, T = 1000, 2000
    for f in (0.1, 0.2, 0.3, 0.4):
        rates, halved = [], 0
        for _ in range(T):
            lw, low = 0.0, 0.0
            for _ in range(N):
                lw += math.log(1 + f) if random.random() < p else math.log(1 - f)
                low = min(low, lw)
            rates.append(lw / N); halved += low <= math.log(0.5)
        rates.sort()
        c = f / fs
        print(f, round(rates[T // 2], 4), sum(r < 0 for r in rates) / T, halved / T,
              round(0.5 ** (2 / c - 1), 3))
    # f    中位增长率  最终亏损比例  曾腰斩  理论 0.5^(2/c-1)
    # 0.1  0.0148     0.0          0.114   0.125
    # 0.2  0.0205     0.0005       0.452   0.5
    # 0.3  0.0147     0.065        0.771   0.794
    # 0.4  -0.0016    0.5385       0.955   1.0
    ```

    模拟的腰斩频率都略低于理论值——理论是无限时长，模拟只跑了 1000 注。