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description: "1 号藏 1 张、摆 4 张，2 号猜底牌；24 种排列看似只够 48 张的一半，但「藏哪张」也是信号：同花色先定底牌花色，13 点圆环把 12 折成 6，剩下 3 张的 6 种顺序传步数"
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# 五张牌魔术：24 种排列怎么猜中 48 张底牌

## 题

一副去掉大小王的 52 张牌。1 号囚犯随机拿到 5 张，必须藏起 1 张，把剩下 4 张按从左到右的顺序摆在桌上；2 号只看这 4 张，就要报出藏起来的那张。两人进房间前可以约定一套策略。猜中释放，猜错处决。

用 24 种排列去对应 48 张可能的底牌，看起来最多只有 50% 的胜率。能保证 100% 猜中吗？

## 一句话

**能。** 24 种排列对 48 张底牌看似差一半，但 1 号还能决定藏哪张牌；同花色先定底牌花色，13 点圆环把 12 个点数折成 6 个步数，剩下 3 张的 6 种顺序把步数传过去[^claim]。

## 关键技巧

**24 不是全部信号。** 固定 4 张明牌时，它们的排列只有 $4! = 24$ 种；底牌有 48 种可能，只看顺序确实最多覆盖一半。但藏哪张牌由 1 号自己选，5 张里藏 1 张、剩下 4 张再排，理论上有 $5 \times 24 = 120$ 种动作。2 号看到的也不只是顺序——哪 4 张被留下、第一张是什么，都在传信。

动作多不等于能解码。下面三层把 48 种可能一路压到 1 种，每一层都要求两人提前约定同一套规则。

- **抽屉原理定花色**：5 张牌塞进 4 种花色，必有两张同花。1 号把其中一张放最左边，另一张藏起来；2 号看第一张的花色，就知道底牌的花色。未知从 48 种缩到同花色的 12 个点数。
- **13 点圆环把 12 折成 6**：同花色 A 到 K 围成 13 格圆环，K 的下一格接回 A。任意两张不同的同花牌，两个方向走的步数相加等于 13；13 是奇数，必有一个方向不超过 6 步。1 号把起点那张放第一位，终点那张藏起来，于是底牌一定在第一位顺时针 1–6 步内。
- **3 张牌的全序把 6 折成 1**：两人提前约定全序：先比点数，点数相同再按 ♠ > ♥ > ♣ > ♦ 比花色。剩下 3 张分出小、中、大，6 种排列固定对应 1–6。

<figure markdown>
  ![13 点圆环：任意两张牌两个方向的步数相加等于 13](assets/five-card-trick/ring.webp){ width="520" }
  <figcaption>13 点圆环，K 的下一格接回 A</figcaption>
</figure>

## 解

1. 1 号看 5 张，找一对同花牌；选一张当起点，使另一张在顺时针 1–6 步内。起点放第一位，终点藏起来。
2. 剩下 3 张按全序排成小、中、大；要传的步数 $d$ 查下表，按对应排列摆放。
3. 2 号看第一位：花色就是底牌花色，点数就是起点。后三张的顺序查表得到 $d$，从起点顺时针数 $d$ 步，报出底牌。

| $d$ | 排列 | 例子（小 = 3♠，中 = 7♣，大 = K♦） |
|---|---|---|
| 1 | 小中大 | 3♠ 7♣ K♦ |
| 2 | 小大中 | 3♠ K♦ 7♣ |
| 3 | 中小大 | 7♣ 3♠ K♦ |
| 4 | 中大小 | 7♣ K♦ 3♠ |
| 5 | 大小中 | K♦ 3♠ 7♣ |
| 6 | 大中小 | K♦ 7♣ 3♠ |

**完整算例。** 假设抽到 ♥10、♥2、♠3、♣7、♦K[^demo]。

1. 两张红桃，从 ♥10 顺时针走到 ♥2：J、Q、K、A、2，共 5 步，没超过 6。于是把 ♥10 放第一位，藏 ♥2。
2. 剩下 ♠3 < ♣7 < ♦K，即小、中、大；要传 5，查表用「大小中」，摆成 ♦K、♠3、♣7。
3. 2 号看到第一位是 ♥10，知道底牌是红桃、起点 10；后三张是大小中，读出 5；从 10 顺时针数 5 步，报出 ♥2。

<figure markdown>
  ![算例：第一位 ♥10，后三张 K、3、7 是大小中，底牌 ♥2](assets/five-card-trick/example.webp){ width="520" }
  <figcaption>第一位定花色和起点，后三张的顺序定步数</figcaption>
</figure>

## 延伸

- **为什么 13 必须是奇数**：圆环长 12 时两个方向可能都是 6 步，起点和终点分不清；13 保证总有一侧不超过 6 步、另一侧至少 7 步。
- **5 张里有 3 张同花**：任取其中两张按圆环定起点和终点，剩下 3 张照常编码；第三张同花牌留在明牌里也不影响解码。
- **后三张同点数不同花色**：按约定的花色序 ♠ > ♥ > ♣ > ♦ 分大小；全序保证 3 张牌一定能分出严格的小、中、大。
- **24 对 48 的计数错在哪**：24 是固定 4 张明牌时的排列数；1 号还能选藏哪张，理论动作 $5 \times 24 = 120$ 种，2 号看到的是「哪 4 张 + 怎么排」。但动作多不等于能解码，上面的构造才是保证。
- **来源与校正**：整理自抖音「小偏导」的 6 分 37 秒视频[^src]；口播把算例说成「7 点红桃 10」，圆环步数也转写错了，本文按画面校正为 ♥10、5 步。完整材料包在本地，不随站发布。

??? note "数值验证"

    枚举全部 $\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960$ 手牌，按上面的策略编码再解码，逐一核对是否能还原藏牌：

    ```python
    from itertools import combinations, permutations

    PERMS = list(permutations(range(3)))

    def card(r, s): return r * 4 + s
    def rank(c): return c // 4
    def suit(c): return c % 4
    def key(c): return (rank(c), 4 - suit(c))   # 同点数按 ♠ > ♥ > ♣ > ♦

    def encode(hand):
        by_suit = {}
        for c in hand:
            by_suit.setdefault(suit(c), []).append(c)
        a, b = next(v for v in by_suit.values() if len(v) >= 2)[:2]
        d = (rank(b) - rank(a)) % 13
        if d > 6:
            a, b, d = b, a, 13 - d
        rest = sorted((c for c in hand if c not in (a, b)), key=key)
        return [a] + [rest[i] for i in PERMS[d - 1]], b

    def decode(seq):
        start, rest = seq[0], seq[1:]
        order = {c: i for i, c in enumerate(sorted(rest, key=key))}
        d = PERMS.index(tuple(order[c] for c in rest)) + 1
        return card((rank(start) + d) % 13, suit(start))

    count = 0
    for hand in combinations(range(52), 5):
        seq, hidden = encode(hand)
        assert decode(seq) == hidden
        count += 1
    print(count)  # 2598960
    ```

[^claim]: 转写 P01@00:00:00-00:02:34；关键帧 KF-P01-04。
[^demo]: 转写 P01@00:04:47-00:05:59；关键帧 KF-P01-10、KF-P01-11。
[^src]: [抖音原视频](https://www.douyin.com/video/7698136450239450378)，2026-10-19 读。