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description: "掷到 6 为止、已知全程都是偶数，期望 3/2 次而不是 3；条件化等于把停止规则改成掷到 {1,3,5,6} 即停"
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# 掷到 6、全程偶数的期望次数

## 题

一颗公平骰子反复掷，出现 6 就停。已知从头到尾掷出的每个点数都是偶数，求掷骰次数的条件期望。

## 一句话

**答案是 $3/2$，不是 3**——"全程偶数"不是把骰子换成只有 $\{2,4,6\}$ 的三面骰，而是**只保留那些没来得及出奇数就碰到 6 的序列**。越长的序列越可能混进奇数，被筛掉；留下来的都偏短。

## 关键技巧

**把条件改写成停止规则。** 定义新停时 $M$ = 首次掷出 $\{1, 3, 5, 6\}$ 中任一点的时刻。于是：

- 事件 $A$（全程偶数）$\iff$ $M$ 那一次掷出的是 6——在出现 6 之前没有奇数，等价于 $\{1,3,5,6\}$ 里第一个出现的是 6。
- 在 $A$ 上，$N = M$。

$M$ 之前的每一掷都是 2 或 4，$M$ 那一掷在 $\{1,3,5,6\}$ 上**均匀且与 $M$ 独立**——"掷了多少个 2/4 才停"不影响"停在哪个点"。所以

$$
E[N \mid A] = E[M \mid X_M = 6] = E[M] = \frac{1}{4/6} = \frac32
$$

顺带 $P(A) = P(X_M = 6) = \frac14$。

## 解

直接算也就两行。$N = n$ 且全程偶数，意味着前 $n-1$ 次是 2 或 4、第 $n$ 次是 6：

$$
P(N = n,\ A) = \left(\tfrac13\right)^{n-1} \cdot \tfrac16, \qquad P(A) = \sum_{n\ge1} \left(\tfrac13\right)^{n-1} \tfrac16 = \tfrac14
$$

$$
P(N = n \mid A) = \tfrac23 \left(\tfrac13\right)^{n-1}, \qquad E[N \mid A] = \frac{1}{2/3} = \frac32
$$

条件分布是成功率 $\frac23$ 的几何分布——正好就是"每掷一次有 $\frac46$ 的机会停下"的 $M$。

## 延伸

- **错在哪**：答 3 的人默认了"已知全偶 = 每一掷都从 $\{2,4,6\}$ 均匀抽"。这把条件当成了**对过程的改造**，实际上条件是**对样本路径的筛选**。前者停止概率每步 $\frac13$，后者每步 $\frac23$——奇数点并没有消失，它们以"让这条路径作废"的方式参与了停止。
- **一般化**：掷到出现目标集 $S$ 为止，已知全程避开禁区 $B$（$S \cap B = \varnothing$），则 $N \mid A$ 服从几何分布，成功率 $\frac{|S| + |B|}{6}$，期望 $\frac{6}{|S|+|B|}$。本题 $|S| = 1$、$|B| = 3$，给 $\frac64$。
- **同一个坑的其他面孔**：[两个孩子问题](two-children.md) 与 [Monty Hall](monty-hall.md) 都是"信息怎么来的"决定条件概率——条件不是凭空加在世界上的限制，而是一次观察。
- **检验直觉的办法**：把条件化写成模拟里的 `if ok:` 过滤，而不是改写掷骰函数——代码结构本身就会告诉你哪个模型是对的。

??? note "数值验证"

    几何级数精确解、错误模型、拒绝采样与等价停止规则两路蒙特卡洛：

    ```python
    from fractions import Fraction as F
    import random

    # 精确：P(N = n 且全程偶数) = (1/3)^(n-1) * (1/6)，几何级数求和
    r, c = F(1, 3), F(1, 6)
    PA = c / (1 - r)                               # sum_n c r^(n-1)
    EN = c / (1 - r) ** 2 / PA                     # sum_n n c r^(n-1) / P(A)
    print(PA, EN)                                  # 1/4 3/2
    print([c * r ** (n - 1) / PA for n in (1, 2, 3)])
    # [Fraction(2, 3), Fraction(2, 9), Fraction(2, 27)]  -> 几何分布 p = 2/3

    # 错误模型：只在 {2,4,6} 里掷直到 6
    print(F(1) / F(1, 3))                          # 3

    # 等价停止规则：掷到 {1,3,5,6} 之一就停，停时恰为 6 才算数
    random.seed(6)
    T, kept, tot, tot_eq, cnt_eq = 10 ** 6, 0, 0, 0, 0
    for _ in range(T):
        n, ok = 0, True
        while True:
            x = random.randint(1, 6); n += 1
            if x % 2: ok = False
            if x == 6: break
        if ok: kept += 1; tot += n
        n = 0
        while True:
            x = random.randint(1, 6); n += 1
            if x in (1, 3, 5, 6): break
        tot_eq += n; cnt_eq += 1
    print(kept / T, tot / kept, tot_eq / cnt_eq)  # 0.250317 1.5007370654010714 1.499458
    ```