Buffon 投针

题

地板上画着间距为 \(d\) 的平行线，随手扔一根长 \(l \le d\) 的针，位置和方向都均匀随机。针与某条线相交的概率是多少？

一句话

\(\dfrac{2l}{\pi d}\)，针长等于线距时是 \(2/\pi \approx 0.637\)。\(\pi\) 从直线题里冒出来，是因为方向角是均匀的——而最漂亮的证法一个积分都不用。

关键技巧

别算概率，算期望交点数 \(E[N]\)。 短针（\(l \le d\)）至多交一条线，\(N \in \{0, 1\}\)，所以 \(P(\text{相交}) = E[N]\)。

期望交点数对长度是线性的（Buffon's noodle）。 把针切成两段，每段各自随机落下，总交点数 = 两段交点数之和——期望的线性性不要求两段独立，所以焊在一起、甚至弯成任意角度都照样成立。于是对任意长 \(L\) 的可求长曲线（"面条"），

\[ E[N] = c \cdot L \]

\(c\) 只依赖于 \(d\)。

用一个恒等的形状定出 \(c\)。 取直径恰为 \(d\) 的圆：无论怎么扔，它与平行线恰好交 2 次（相切的概率为 0）。周长 \(\pi d\)，所以

\[ c \cdot \pi d = 2 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{2}{\pi d}, \qquad E[N] = \frac{2L}{\pi d} \]

把针（\(L = l\)）代回：\(P = \dfrac{2l}{\pi d}\)。整个论证——线性性把任意形状化成常数 \(c\)，特殊形状把常数钉死——没有一个积分。

解

标准积分做法同样一行，拿来对账：针中心到最近线的距离 \(y \sim U[0, \frac d2]\)，针与线的锐角 \(\theta \sim U[0, \frac\pi2]\)，相交当且仅当 \(y \le \frac l2 \sin\theta\)：

\[ P = \frac{2}{d} \cdot \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{l}{2} \sin\theta \, d\theta = \frac{2l}{\pi d} \]

\(l = d\) 时 \(P = 2/\pi = 0.6366\)，一百万次模拟得 0.6358。

延伸

长针（\(l > d\)）：交点数的期望仍是 \(\frac{2l}{\pi d}\)——线性性不挑长短；但 \(N\) 可以大于 1，概率不再等于期望。记 \(r = l/d\)，把积分里的 \(r\sin\theta\) 截到 1：

\[ P = \frac{2}{\pi}\left(r - \sqrt{r^2 - 1} + \arccos\frac1r\right) \]

\(r = 2\) 时概率 0.837、期望交点 1.273；\(r = 5\) 时概率 0.936、期望交点 3.183。\(r = 1\) 代入回到 \(2/\pi\)。 - 常见错误：长针直接套 \(2l/(\pi d)\) 当概率。\(r > \pi/2\) 时它已经大于 1。记住公式算的是期望交点数，只有短针两者重合。 - 用来估 \(\pi\) 效率极低：\(\hat\pi = \frac{2l \cdot n}{d \cdot H}\)（\(H\) 为相交次数）。\(l = d\) 时 \(n \cdot \mathrm{Var}(\hat\pi) \to \pi^2 \frac{1-p}{p} \approx 5.63\)——标准差 \(\approx 2.37/\sqrt n\)，想让标准差降到 0.001 要扔约 560 万次。短针里 \(l = d\) 已是最优（方差随 \(p\) 增大而减小）。 - Lazzarini 1901 年的"结果"太好了：他声称针长/线距 \(= 5/6\)、扔 3408 次、相交 1808 次，得 \(\hat\pi = \frac{355}{113} = 3.1415929\)，误差只有 \(3 \times 10^{-7}\)。按上式这个实验的标准差约 0.05——比它精确 5 个数量级。\(3408 = 16 \times 213\)、\(1808 = 16 \times 113\)，几乎可以断定是凑着 \(355/113\) 停手的。 - 同款"不积分"思路：期望的线性性不要求独立，这一招在固定点问题（随机排列的期望不动点恰为 1）里是同一把钥匙；"概率化面积"的部分则和约会问题同源。 - 推广：Cauchy–Crofton 公式——平面曲线的长度等于它与随机直线交点数的积分，Buffon's noodle 是它的概率版本。

数值验证

import math, random

def p_cross(r):
    """针长 l、线距 d，r = l/d。"""
    if r <= 1:
        return 2 * r / math.pi
    return 2 / math.pi * (r - math.sqrt(r * r - 1) + math.acos(1 / r))

random.seed(2026)

def throw(r):
    """d = 1：中心纵坐标 y∈[0,1)，锐角 θ∈[0,π/2)，返回针与横线的交点数。"""
    y, th = random.random(), random.random() * math.pi / 2
    h = r / 2 * math.sin(th)
    return math.floor(y + h) - math.floor(y - h)

T = 10**6
for r in (0.5, 1, 2, 5):
    xs = [throw(r) for _ in range(T)]
    print(r, round(p_cross(r), 4), sum(x > 0 for x in xs) / T, sum(xs) / T, round(2 * r / math.pi, 4))
# r    精确概率  模拟概率   模拟期望交点  2r/π
# 0.5  0.3183   0.318143  0.318143    0.3183
# 1    0.6366   0.635775  0.635775    0.6366
# 2    0.8372   0.836612  1.272376    1.2732
# 5    0.9361   0.936474  3.18461     3.1831

def noodle(T=300000):
    """三节各长 0.6 的随机折线（总长 1.8），期望交点数应为 2·1.8/π。"""
    tot = 0
    for _ in range(T):
        x, y, ang = random.random(), random.random(), random.random() * 2 * math.pi
        for k in range(3):
            if k: ang += random.uniform(-2, 2)
            nx, ny = x + 0.6 * math.cos(ang), y + 0.6 * math.sin(ang)
            tot += abs(math.floor(ny) - math.floor(y))
            x, y = nx, ny
    return tot / T
print(noodle(), round(3.6 / math.pi, 4))      # 1.14478 1.1459

print(2 * (5 / 6) * 3408 / 1808 == 355 / 113)   # True  Lazzarini 1901
p = 2 / math.pi
c = math.pi ** 2 * (1 - p) / p                 # l = d 时 n·Var(π̂) 的渐近值
print(round(c, 3), round(c / 1e-6))            # 5.634 5633534
r = 5 / 6; p = 2 * r / math.pi
print(round(math.sqrt(math.pi ** 2 * (1 - p) / p / 3408), 4), 3408 / 213, 1808 / 113)   # 0.0506 16.0 16.0