断棍成三角形

题

一根长为 1 的木棍，在两个独立均匀的随机位置各断一刀，得到三段。这三段能围成三角形的概率是多少？

一句话

\(1/4\)——围成三角形等价于"没有一段超过一半"，而"某段超过一半"的三个事件互不相容、各占 \(1/4\)。

关键技巧

一、把三角不等式翻译成一句话。 三段 \(a + b + c = 1\)，\(a < b + c\) 等价于 \(a < 1 - a\)，即 \(a < \frac12\)。三条不等式合起来：能围成三角形 ⇔ 最长段 \(< \frac12\)。

二、算坏事件，不算好事件。 设 \(A_i\) = "第 \(i\) 段 \(\ge \frac12\)"。两段不可能同时超过一半，所以 \(A_1, A_2, A_3\) 两两互斥：

三、每个坏事件都是 \(1/4\)。 左段 \(\ge \frac12\) 等价于两刀都落在右半边，概率 \(\left(\frac12\right)^2\)。中段和右段看起来不一样，其实一样——两刀切出的三段 \((a, b, c)\) 服从单纯形 \(a+b+c=1\) 上的均匀分布，三段地位完全对称（spacings 的可交换性）。于是

几何图像：单纯形是一个等边三角形，三条中位线把它切成 4 个全等小三角形，"每段 \(< \frac12\)"恰好是中间那一个。

解

推广到 \(n-1\) 刀、\(n\) 段，想围成 \(n\) 边形，条件同样是最长段 \(< \frac12\)。第 \(i\) 段 \(\ge \frac12\) 的概率等于"其余 \(n-1\) 个切点都挤在另一半"，即 \(\left(\frac12\right)^{n-1}\)；\(n\) 个坏事件照旧两两互斥：

延伸

• 和半圆问题是同一道题。把棍子首尾粘成一个周长 1 的圆，接口处算一个点，\(n-1\) 刀就是圆上 \(n\) 个均匀点，\(n\) 段就是 \(n\) 段弧。"有一段弧 \(\ge \frac12\)" ⇔ "\(n\) 个点落在同一个半圆"——所以本题答案正是 \(1 - \frac{n}{2^{n-1}}\)，见 圆上 \(n\) 点落在同一半圆。
• 先断一刀，再把较长那段断一刀：概率 \(2\ln 2 - 1 \approx 0.386\)。第一刀后较长段 \(L\) 在 \([\frac12, 1]\) 上均匀，短段必然 \(< \frac12\)；在 \(L\) 上均匀切一刀，两小段都 \(< \frac12\) 的概率是 \(\frac{1}{L} - 1\)。对 \(L\) 平均：\(\int_{1/2}^{1} 2\left(\frac1L - 1\right) dL = 2\ln 2 - 1\)。
• 先断一刀，再随机挑一段断：挑中短段（概率 \(\frac12\)）必败——剩下的长段已经 \(\ge \frac12\)。所以答案是上一条的一半，\(\ln 2 - \frac12 \approx 0.193\)。两个变体题面只差一个词，答案差一倍，出题时最容易说混。
• 两刀独立 vs 依次断：原题的两刀同时、独立落下，所以三段对称；依次断的变体破坏了对称性，只能老老实实积分。答案从 \(0.25\) 变成 \(0.386\) 或 \(0.193\)，说明"怎么断"这件事本身就是题面。
• 围成锐角三角形：还要最长边平方小于另两边平方和，概率 \(3\ln 2 - 2 \approx 0.0794\)——只占能成三角形的 32% 左右。这个积分略繁，下方只给了数值核验。
• 常见错误：只检查一条三角不等式；或者以为三段的"中段"分布与两端不同，于是分三种情况硬算。单纯形上的对称性是整道题的捷径。

from fractions import Fraction as F
import math, random

def poly_ok(pieces):                      # 能围成多边形 ⇔ 最长段 < 总长的一半
    return max(pieces) < 0.5

def grid(N):
    ok = 0
    for a in range(1, N):
        for b in range(1, N):
            x, y = sorted((a, b))
            ok += 2 * max(x, y - x, N - y) < N
    return F(ok, (N - 1) ** 2)
for N in (10, 100, 1000):
    print(N, float(grid(N)))              # 0.1481  0.2400  0.2490

random.seed(2)
T = 10**6
def cuts(n):
    c = sorted(random.random() for _ in range(n - 1))
    return [b - a for a, b in zip([0] + c, c + [1])]

for n in (3, 4, 5, 6):
    mc = sum(poly_ok(cuts(n)) for _ in range(T)) / T
    print(n, 1 - n / 2 ** (n - 1), mc)
# 3 0.25 0.249797 | 4 0.5 0.499722 | 5 0.6875 0.688013 | 6 0.8125 0.812287

def longer_then_break():
    x = random.random()
    L = max(x, 1 - x); u = random.random() * L
    return poly_ok([1 - L, u, L - u])
def random_piece_then_break():
    x = random.random()
    P = x if random.random() < 0.5 else 1 - x; u = random.random() * P
    return poly_ok([1 - P, u, P - u])
def acute():
    a, b, c = cuts(3)
    m = max(a, b, c)
    return poly_ok([a, b, c]) and m * m < a*a + b*b + c*c - m * m

print(2 * math.log(2) - 1, sum(longer_then_break() for _ in range(T)) / T)
# 0.3862943611198906 0.386765
print(math.log(2) - 0.5, sum(random_piece_then_break() for _ in range(T)) / T)
# 0.1931471805599453 0.192472
print(3 * math.log(2) - 2, sum(acute() for _ in range(T)) / T)
# 0.07944154167983575 0.079585